Кинетика движения остывающей магмы по вертикальной дайке постоянной толщины
Титов В.В.

1. Введение

Один из наиболее труднодоступных для экспериментального изучения процессов, сопровождающих вулканическую деятельность - это движение магмы в толще земных пород от питающего очага до дневной поверхности. Судя по условиям на больших глубинах и по измеренным параметрам извергающейся магмы, можно полагать, что путь от очага до поверхности делится на два участка, на каждом из которых характер движения, да и сами свойства движущейся массы имеют свою специфику. Основное различие состоит в том, что магма питающего очага, как правило, содержит много растворенных летучих (в основном воды и СО₂), которые при высоком литостатическом давлении больших глубин остаются растворенными в магматическом расплаве, а на верхнем участке пути, вблизи дневной поверхности движущаяся масса становится двухфазной: выделение избыточных газов приводит к вспениванию и качественному изменению реологических свойств магмы. Таким образом, можно обозначить некоторую граничную глубину, разделяющую области однофазной (раствор) и двухфазной (пена) Среды. Для большинства магм эта граничная глубина составляет 1-2 км.

В настоящей работе анализируется нижний, “однофазный” участок движения магмы. При этом считается, что канал, по которому магма поднимается к поверхности, представляет собой узкую вертикальную щель постоянного сечения (дайку), причем толщина w щели много меньше высоты Н дайки, т.е. расстояния от питающего очага до дневной поверхности. Таким образом, дайку условно можно представить в виде вертикальной длинной плоской ленты, соединяющей магматический очаг с поверхностью.

2. Вывод уравнений тепломассопереноса

Рассмотрим ситуацию в тот момент времени, когда вся дайка заполнена движущейся магмой, причем “однофазный” участок занимает значительную часть высоты дайки (обычно глубины питающих очагов трещинных извержений существенно больше 3 км). Характер движения однофазной магмы будет в большинстве случаев ламинарным (действительно, даже для w=10 м, скорости потока v=10 м/с и вязкости m= 10 Па*с получим Re=100< <Re_кр=1300-20000, при менее напряженных режимах течения условие ламинарности выполняется с еще большим запасом). Это позволяет сравнительно просто вывести основные уравнения тепло- и массопереноса для дайки в любой ее внутренней точке.

Рис.1. К выводу уравнения теплового баланса

Очевидно, задачу можно рассматривать в двумерном варианте (т.е. пренебречь краевыми эффектами на кромках дайки-ленты). Поместив начало координат на осевой линии дайки в самом ее начале (т.е. в вершине питающего очага) и направив ось Z вертикально вверх (вдоль оси дайки), а ось Х - по направлению к ближайшей боковой стенке дайки, можно теперь рассмотреть произвольную точку с координатами (X,Z) (0£X£W/2, 0£Z£ L) и описать около нее пробный прямоугольник со сторонами D X и DZ так, чтобы точка (X,Z) была в центре этого прямоугольника (см. Рис.1). Чтобы составить уравнение теплового баланса, учтом три процесса: перенос тепла с магмой, теплопроводность и вязкий разогрев. Первые два процесса связаны с границами пробного прямоугольника, последний идет внутри прямоугольника. Выписав все их и сложив вместе, получим для общего прироста тепла D Q в прямоугольнике за время D t следующее выражение:

(1)

Переходя к дифференциалам, получаем двумерное уравнение теплового баланса движущейся остывающей магмы:

(2)

Теперь проанализируем двумерные динамические уравнения Навье-Стокса при условии ламинарности течения несжимаемой магмы:

		(3)   (4)
где

p- избыточное давление, m- динамическая вязкость магмы.

Уравнения (3) и (4) можно развернуть в виде:

	нулевой порядок малости
	первый порядок малости	(2a)
	второй и четвертый порядок малости
	нулевой порядок малости
	первый порядок малости	(5a)
	второй и третий порядок малости
	нулевой порядок малости
	первый порядок малости	(6a)
	второй порядок малости

“Порядок малости” в этих уравнениях измеряется величиной W/2L и (поскольку W обычно составляет метры или доли метра, а L измеряется километрами) оценочно составляет 10^-3-10^-6_, , т.е. различие во вкладе разных групп членов уравнений (2а), (5а) и (6а) очень велико. Это позволяет без существенной ошибки отбросить все члены первого и более высоких порядков малости и окончательно получить уравнения гидродинамики нестационарного течения магмы:

(5б)   (6б)

Оценить величину без дополнительных предположений довольно трудно, поскольку для высокочастотных колебаний производная, т.е. скорость изменения даже очень маленькой величины v_x может оказаться достаточно большой. Ограничимся для начала случаем квазистационарного режима течения, когда колебания отсутствуют и режим течения меняется достаточно медленно; это позволяет приравнять нулю первые слагаемые в обоих уравнениях. Уравнение (5б) при таком предположении свидетельствует о том, что изобары в потоке представляют собой горизонтальные линии, т.е. давление p является функцией только высоты z. Кроме того, горизонтальная составляющая скорости v_x из обоих уравнений исчезла, т.е. скорость течения v (в первом приближении!) имеет только z-компоненту и также зависит только от одной переменной x.

Таким образом, получаем:

(7)

где А не зависит от х (т.е. является функцией только от z).

Последнее из уравнений, описывающих движение магмы, получим из условия массового баланса:

(8)

(Q - объемный расход магмы на единицу ширины дайки).

Граничные условия, соответствующие движению по вертикальной дайке постоянной толщины, таковы:

(А)   (Б)   (В)   (Г)

Условие (А) соответствует нормальному поведению пристеночного слоя жидкости, условия (Б) и (В) следуют из симметричной геометрии потока, условие (Г) для температуры задано через тепловой поток на стенку. Величина градиента температуры на границе зависит от времени t существования заполненной магмой дайки . Это значит, что стационарным течение магмы в принципе быть не может, т.к. граничное условие само меняется со временем. Однако начиная с некоторого t изменение становится малым, что позволяет основным переменным T и v “отслеживать” это изменение в квазистационарном режиме.

Суммируя все изложенное выше, можно теперь записать систему уравнений, описывающих квазистационарное течение остывающей несжимаемой магмы по вертикальной дайке постоянной толщины:

(9)   (10)   (11)

Эта система записана для отрезка при граничных условиях (А) - (Г).

Уравнение (10) интегрируется; с учетом граничного условия (Б) получается:

или

(12)

(здесь А не зависит от х).

В системе есть масштабная величина , что позволяет перейти к системе с безразмерной переменной :

(13)   (14)

справедливой на отрезке при условиях:

	(А’)   (Б’)
	(Г’)   (Д’)

(уравнение (11), записанное в форме (Д’), перенесено к граничным условиям).

Система в общем виде аналитически не решается, поскольку в ней присутствуют довольно сложные функции температуры (в работе [1] принято

. (*)

Положив , где - не известная нам функция (о ее виде пока можно лишь сказать, что она - четная функция от y), запишем ( с учетом граничного условия (А’):

(15)

где

Нормировочное условие (Д’) дает:

(16)

где

Н(1) - число, поэтому (16) позволяет получить связь между неизвестными m ₀ и А:

(17)

Подставив (15) и (17) в (13), получим:

(18)

при граничных условиях (В’) и (Г’).

Дальнейший анализ этого уравнения проведем для нескольких частных случаев. Дело в том, что реально весь интервал подъема 0<z<h’ (h’ - высота, на которой магма начинает выделять летучие и уравнение (17) становится недействительным) можно разделить на три участка: 1) начальный участок движения горячей и сравнительно маловязкой магмы, где последним членом в (17) можно пренебречь по сравнению с предыдущим; 2) конечный участок, где основной механизм теплопритока - вязкий разогрев, описываемый последним членом (17), а дальнейшее охлаждение, описываемое вторым членом уравнения, практически отсутствует; 3) небольшой по протяженности промежуточный участок, где роль обоих членов приблизительно одинакова.

(18а)

(0<y<1), граничные условия: T_y(0)=0; T_y(1)=-Fw/2.

Интегрируем (18а) с учетом (В’):

(19)

Граничное условие (Г’) позволяет определить m ₀:

(20)

Учитывая (20), перепишем (19) в виде:

(19а)

Интегрируя (19а) еще раз, получим:

(21)

где - величина, определяемая реальной зависимостью m (Т) для данного вида магм.

Итак, полное решение системы для любого сечения z=const на последнем участке дайки таково:

(21)     (22)     (23)     (24)

Обращает на себя внимание обратно пропорциональная зависимость перепада от объемного расхода. Это значит, что дифференциальное гидродинамическое сопротивление участка дайки, где доминирующим механизмом теплопритока является вязкий разогрев, всегда отрицательно (dA/dQ<0), т.е. такое движение принципиально неустойчиво.

Еще одна особенность решения - то, что температура Т₀ на оси дайки “следит” за расходом Q и интенсивностью теплоотвода l F, но никак не связана с температурой в очаге или на предшествующем участке дайки. Это именно самонастраивающийся режим.

4. Анализ теплопереноса при простом охлаждении жидкой магмы

(25)

(0<y<1, граничные условия T_y(0)=0, T_y(1)=-Fw/2).

Участок движения без вязкого разогрева имеет некоторую протяженность по высоте, а значит, уравнение (25) должно выполняться не только в рассматриваемом сечении z=z₀, но и в соседних более или менее удаленных от него сечениях. Поскольку граничное условие T_y(1)=-Fw/2 изменяется по координате z довольно слабо (производная dF/dz по модулю меньше геотермического градиента), то естественно предположить, что картина распределения температуры по х на близких высотах меняется либо параллельным переносом, либо пропорциональным умножением всего профиля на величину, близкую к единице. А поскольку относительное изменение температуры [T(1)-T(0)}/T(0) сравнительно невелико, то оба крайних варианта изменения профиля (и все промежуточные) практически равноценны. Поэтому для облегчения математических выкладок положим T_z=-a = const(x). Тогда уравнение (25) интегрируется и с учетом граничного условия (В’) дает:

(26)

Граничное условие (Г’) позволяет определить величину a:

(27)

и (26) можно переписать в виде:

(26а)

Нам осталось еще одно интегрирование (26а), а граничные условия исчерпаны, константу интегрирования определять не из чего. Однако есть простой выход. Речь ведь идет о начальном, нижнем участке дайки, а температура втекающей в него магмы равна температуре питающего очага Т_п0. В то же время единственной причиной изменения температуры на этом участке является теплоотток в стенки, а этот отток на всем пути от z=0 до рассматриваемой высоты z можно подсчитать, зная F(z), и, значит, зная

(28)

(здесь ). Это позволяет проинтегрировать (26а) и получить:

(29)

Таким образом, полное решение задачи на участке простого охлаждения можно записать в виде:

(29)     (30)     (24)

Здесь, в отличие от предыдущего случая, температурный профиль связан с начальной температурой магмы в очаге и со всей предысторией ее остывания. Это принципиально влияет на устойчивость течения. Вычислим dA/dQ:

(31)

(здесь ). В режиме, далеком от застывания, определяющим в формуле вязкости (* ) является первое слагаемое, т.е. m (Т)» m _Аexp(T_A/T), тогда dm ₀/dT₀=-m ₀T_A/T₀²_. С другой стороны, . Подставляя все это в (31), получим:

(32)

В нижних участках дайки, где R(z) мало, dA/dQ>0, гидродинамическое сопротивление положительно, течение устойчиво. Граница устойчивости простирается от корня дайки до высоты z_y, определяемой из уравнения:

(33)

(его нетрудно получить, приравняв нулю выражение в фигурных скобках (32)). Если левая часть (33) даже при z_y=L продолжает оставаться меньше правой части, то движение будет устойчиво вплоть до самой верхней границы рассматриваемого отрезка дайки. Если z_y<L, неустойчивость режима в верхней части дайки обеспечена. До поры до времени эта неустойчивость компенсируется перераспределением давления между нижней частью дайки и верхней. Поскольку это перераспределение происходит с конечной скоростью (равной скорости звука v_з в магме), следует ожидать, что в дайке начнут генерироваться колебания (основная частота - не ниже f_н» v_з/L).

Недостаточность компенсации возникает, когда

, т.е.

(34)

В линейном (достаточно грубом) приближении F(z)=F₀=const и T(L)»T₀ можно получить:

(35)

При Q£ Q_мин и фиксированном Р_S = гидродинамическая неустойчивость потока в целом неизбежно приводит к срыву квазистационарного режима и появлению значительных ускорений.

Таким образом, для режима простого охлаждения жидкой магмы (при отсутствии вязкого разогрева) можно выделить три режима течения:

1. Режим спокойного истечения. Его условие:

(33а)

2. Стабильный режим с колебаниями магматического столба в вертикальном направлении:

(36)

3. Срыв стабильного режима (истечение со значительным ускорением того или иного знака):

(35а)

5. Анализ уравнения теплопереноса при сравнимой роли вязкого разогрева и охлаждения.

Переходный участок между режимами, рассмотренными выше, очевидно, сравнительно невелик по координате z. Прежде чем анализировать полное уравнение (18), полезно отметить, что распределение теплопритока в двух рассмотренных выше “крайних” режимах различается довольно сильно, а именно: при охлаждении теплоприток пропорционален скорости, т.е. максимален при у=0 и равен нулю у стенки у=1; при вязком разогреве теплоприток (точнее, тепловыделение) пропорционален vv_y, т.е. равен нулю и на оси, и у стенки, а максимума достигает на некоторой промежуточной координате. Это должно вызвать соответствующее изменение в распределении температуры Т(у), причем при переходе от режима охлаждения к режиму вязкого разогрева профиль распределения станет более плоским в центральной части и более крутым - в области максимального градиента скорости. Это значит, что, во-первых, считать постоянным вдоль всего поперечного сечения мы уже не имеем права, а во-вторых, относительный вклад охлаждения и вязкого разогрева здесь меняется не только по z, но и по х.

Таким образом, на переходном участке задачу в принципе нельзя сделать одномерной (как это удавалось в предыдущих двух случаях), а общее решение двумерной задачи в аналитическом виде получить не удается.

Что касается устойчивости течения магмы на переходном участке, то двух мнений здесь, видимо, быть не может: вязкий разогрев безусловно должен усиливать неустойчивость течения в верхней части участка простого охлаждения.

6. О приближенных формулах вязкости.

Попробуем исследовать качественную картину распределения скорости потока по сечению дайки. Для заданного расхода согласно (15) и (16) можно записать:

(15а)   (16а)

где не известная нам функция, входящая в соотношение m =m ₀f(y), m ₀ - вязкость магмы в центре сечения дайки.

Рассмотрим три варианта аналитического выражения для f(y).

1. f(y)=1. Такая функция соответствует постоянству (или очень малому изменению) температуры магмы по сечению.

из (16а) получаем:

(37)

и из (15):

(38)   (39)

Диссипация энергии происходит также неравномерно:

(40)

2. f(y)=exp(y²/y₀²). Такая функция соответствует вязкости, плавно увеличивающейся по направлению от центральной плоскости дайки к ее боковой стенке. Уменьшая у₀, можно постепенно перейти ко все более резкому изменению температуры по поперечной координате у.

	(41)
	(42)

(здесь - интеграл вероятности)

	(43)
	(44)

3. f(y)=(1-y²)^-n. Функция приближенно соответствует течению магмы при температурах, обеспечивающих “намерзание” магмы на стенках. Показатель степени n характеризует толщину почти неподвижного “намерзшего” на стенках слоя магмы.

(45)   (46)

n	1	2	3
H(1)	8/15	16/35	128/315

(47)   (48)

Рис.2.

На рисунке 2 показано распределение диссипации энергии для этих трех функций f(y). Как видно из рисунка, кривые тепловыделения за счет вязкого разогрева качественно довольно похожи. Определяющим фактором в реальном процессе является не качественное, а количественное значение N_дис, т.е. в сущности величина вязкости m ₀ в центре сечения дайки. Если исключить экстремальный случай намерзания магмы на стенках, когда реальное “живое сечение” дайки значительно уменьшается (и это можно учесть соответствующим изменением w), то с точки зрения точности расчетов не будет большой ошибкой использование простейшей функции f=const (кривая 1 на рис.2). Таким образом, методика машинного счета, принятая в [1] и основанная именно на этом предположении, может быть признана достаточно корректной. Тем не менее, в свете результатов настоящей работы выявляется еще один “порог” (возникновение колебаний столба магмы), который в [1] не обнаружен (да и не мог быть обнаружен, т.к. там анализировалась внешняя, а не внутренняя задача тепломассопереноса). Использование критерия (36) без труда позволяет обозначить на графиках рис.6 в работе [1] режимы колебательного истечения.

 

Литература:

1. В.В.Титов, С.А.Федотов. Математическое моделирование подъема вязкой магмы по вертикальной дайке. Препринт ИАЭ-3470/16, 1981.

к списку трудов автора

главная страница