Некоторые характеристики имплантационного легирования при сверхбольших дозах (постоянный коэффициент распыления)
Титов В.В.

537. 534

Ключевые слова: ионная имплантация, распыление, легирование, ионный луч

Рассмотрена кинетика накопления имплантированного вещества при сверхбольших дозах с учетом распыления и распухания легированного слоя. Получено и исследовано аналитическое решение кинетического уравнения для приближенных функций распределения пробегов (экспоненциальной и гиперболической функций). Для гауссовской функции распределения найдено машинное решение задачи. Вычислены предельные характеристики имплантационного легирования (поверхностная и слоевая концентрация), рассчитана кинетика их достижения при разных режимах имплантации.

Для малых доз ионной имплантации принято считать, что распределение внедренных атомов подчиняется сравнительно простому закону: это либо чисто гауссовское распределение, либо распределение., незначительно отличающееся от гауссовского [l - 3]. Для разных систем ион - мишень эти отклонения меняются, так же как меняются они и при изменений энергии иона, но в большинстве практически важных случаев роль этих вариаций профиля несущественна, и вполне можно обойтись гауссовской кривой. Увеличение дозы ведет к пропорциональному росту концентрации без изменения формы профиля.

Однако это справедливо лишь при малых дозах и малых концентрациях имплантированной примеси. Переход к большим дозам заставляет обратить серьезное внимание на целый ряд факторов, влияющих на профиль распределения имплантированной примеси: I) распыление поверхностных слоев, 2) изменение тормозной способности вещества мишени, 3) распухание легированного слоя (поскольку внедренным атомам тоже нужно место) и 4) радиационно-стимулированная диффузия.

Начнем с анализа второго фактора. Функция распределения пробегов внедряющихся ионов зависит от параметров: Z₁ и М₁ — атомный номер и массовое число имплантируемого иона, Е - его энергия, Z₂ и M₂ - средний атомный номер и среднее массовое число материала мишени. Все известные нам расчеты этой функции проводились в предположении постоянства Z₂ и M₂ по глубине. В действителыюсти при больших дозах это предположение становится, вообще говоря, некорректным. Степень этой некорректности можно оценить из следующих соображений. В процессе имплантации Z₂ может изменяться от значения, характеризующего чистый материал мишени, до значения, определенного с учетом концентрации внедренной примеси Z₁. В наиболее "тяжелом" случае, когда коэффициент распыления меньше единицы и доза имплантации настолько велика, что поверхностный слой состоит почти сплошь из имплантированного вещества, Z₂® Z₁. Однако если коэффициент распыления k заметно превышает единицу, концентрация примесных атомов в облучаемом слое не может превысить 1/k, и тогда стационарное значение Z₂ при очень больших дозах стремится к [Z₁(1-1/k)+Z₂/k].

Процесс замедления имплантируемого иона можно охарактеризовать двумя коэффициентами [4]: коэффициентом неупругих потерь k_н в формуле и коэффициентом упругих потерь k_у (в приближении степенного потенциала взаимодействия V(r)~r^-2, когда упругие потери не зависят от энергии). На рис. 1 и 2 для ряда значений Z₁ приведены величины коэффициентов k_н(Z₂) и k_у(Z₂). Из графиков видно, что в достаточно широком интервале значений Z₂ потери почти не меняются, даже если распыления нет вообще (при этом условии достигается максимальное изменение среднего атомного номера мишени от Z₂ до Z₁. Если теперь вспомнить, что тяжелые ионы обычно сильно распыляют любую мишень, то единственным сомнительным (с точки зрения правомерности предположения постоянства потерь энергии) случаем можно считать имплантацию легких ионов в мишень, состоящую из тяжелых атомов, при сравнительно высокой энергии ионов, да и то при условии, что. k близко к нулю.

Таким образом, только в исключительных случаях требуется проверить, насколько изменяется тормозная способность при больших лозах; обычно же учитывать эти изменения нет смысла, поскольку ошибки в определении исходных параметров с лихвой перекрывают влияние этого фактора. Распыление мишени - основной фактор, изменяющий форму профиля качественно. Если "ионное травление" идет быстро, то очень скоро устанавливается динамическое равновесие: сколько приходит примеси, столько и уходит. Если же коэффициент распыления меньше единицы, картина иная: примесь может накапливаться неограниченно. Ясно, что кинетика процесса в этих случаях качественно различна.

Рис. 1. Зависимость коэффициента упругих потерь kу различных ионов от среднего массового числа М2 материала мишени: 1- М1=10; 2- 20; 3- 40; 4- 70; 5- 100; 6- 150; 7- 200 а.е.м. Точки соответствуют равенству М1 и М2. Размерность kу – кэВ*см2*мкг-1.	Рис.2. Зависимость коэффициента неупругих потерь kн различных ионов от среднего массового числа материала мишени. Обозначения кривых те же, что и на рис.1. Размерность kн – кэВ1/2*см2*мкг-1.

Третий фактор - распухание мишени - менее заметен, и роль его мы обсудим ниже. И, наконец, четвертый фактор - радиационно-стимулированная диффузия. Этот процесс, вообще говоря, имеет место при любых дозах, но вклад его в первом приближении пропорционален энергии, выделившейся в слое при торможении имплантируемых ионов, т.е. линейно растет с дозой. Более глубокий анализ показывает, однако, что такая простая зависимость при больших дозах практически никогда не имеет места. Причин здесь несколько. Первая - распыление поверхности приводит к насыщению не только концентрации примеси, но и количества энергии, поглощенной в единице объема. Вторая - процесс диффузии зависит и от состава материала, и от особенностей кристаллической структуры слоя, и от индивидуальных свойств диффузанта в этой конкретной структуре (т.е. какой вид диффузии наиболее интенсивен: междоузельный, вакансионный, обменный и т.д.). Все эти параметры в процессе имплантации больших доз меняются весьма существенно. Таким образом, количественный учет радиационного стимулирования диффузии возможен лишь для тех конкретных систем примесь - матрица, в которых достаточно хорошо изучен механизм обычной диффузии (причем не только в чистом исходном материале мишени, но и в материале, содержащем легирующую примесь в металлургических концентрациях). Таких данных ни по одной системе нет, поэтому в настоящей работе влияние радиационно-стимулированной диффузии не учтено. Впрочем, при обсуждении результатов машинного эксперимента мы еще вернемся к этому вопросу.

Накопление имплантированного вещества можно описать кинетическим уравнением

Здесь х – расстояние от поверхности, г/см²; n - концентрация внедренных атомов, ат/г; V - объем )точнее, вес) одного примесного атома, г/ат; F(x) – функция распределения пробегов, см²/г; К^| - коэффициент распыления, г/ат; - функция "распухания" слоя за счет размещения в нем внедренных атомов, ат/см²; Ф- доза имплантации, ат/см².

Уравнение (1) легко привести к безразмерному виду:

где y=x/(D R) – безразмерная координата (0<y<µ ); С – концентрация примеси (0<C<1); K=K^|/VD R) – безразмерная доза; D R- линейный размер (г/см²), характеризующий профиль распределения пробегов F(x).

Уравнение (1а) имеет характеристическую систему

и два первых интеграла

Общее решение y (А,В)=0 можно получить в аналитическом виде, только взяв неопределенный интеграл (4). Для гауссовской кривой распределения пробегов

(здесь y₀=R_p/(D R_p), R_p - средний проективный пробег, г/см²; D R_p - среднеквадратичный разброс пробегов, г/см²; функция распухания имеет вид

и интеграл (4) не берется.
Тем не менее представляется целесообразным исследовать аналитически решение уравнения (la) хотя бы с приближенной функцией. Наиболее удобным (только с математической точки зрения!) приближением оказывается экспонента f(y)=exp(-y). Тогда g(y)=1-e^-y и решение при нулевом начальном условии С(0,у)=0 получается в виде:

или, в более удобной форме:

Решение ведет себя по-разному в зависимости от величины коэффициента распыления К.

1. K>1. Распыляется вещества больше, чем приходит, мишень "стравливается" ионным пучком и при больших дозах q®µ устанавливается стационарное распределение

(9)

2. К<1. В этом случае идет непрерывное наращивание слоя имплантированным материалом, стационарное состояние отсутствует. Переписав (7) в виде

   (10)

   нетрудно установить, что для каждой фиксированной координаты y₁ и фиксированного e всегда можно указать дозу q₁ такую, что при q>q₁ неравенство 1-C(q,y)<e будет выполняться при всех y<y₁. С другой стороны, для каждой дозы q из (10) можно определить толщину наращенного слоя новой фазы

   (11)

   где С_ф - концентрация примеси, при которой формируется новая фаза,
3. K=1. Раскрывая неопределенность в (7), получим

   (12)

   Стационарное распределение и здесь не достигается, слой наращивается непрерывно, причем у_ф меняется по закону

   (13)

   т.е. значительно медленнее, чем при К<1.

Практический интерес представляет также анализ задачи с ненулевыми начальными условиями С (0, у.) = С₀. При таком начальном условии решение (8) преобразуется в

где функция f определена выражением (8). Таким образом, кинетика накопления вещества в этом случае та же, что и при нулевом начальном условии.

Экспоненциальная функция f(y)=e^-y удобна для анализа поведения решения, но все же слишком мало похожа на гауссовскую функцию (5). Больше сходства с (5) имеет функция

(14)

а математические трудности при решении (la) еше вполне преодолимы. Решение получается тем же способом, что и раньше, только уже в виде неявной функции

где a=2K-th(y₀), z=y-y₀, а величины q, C и y - те же безразмерные переменные, что использовались выше. Заметим, что (a-1) = K-gµ и в зависимости от знака (а-1) решение ведет себя по-разному.

При а>1 видно, что далеко не все комбинации у и С допустимы в данном решении. Ограничение накладывает последний логарифм в правой части. Выражение под логарифмом положительно только при выполнения условия

(16)

Кстати сказать, по мере приближения С к этой величине последний логарифм стремится к µ , т.е q®µ. Таким образом, предельный профиль распределения примеси при q®µ определяется именно этим членом

При a<1 (напомним, что при K=0 a= -th(y₀)>-1) оба выражения под знаком логарифма положительны при любых комбинациях у>0 и 1>C>0. Это значит, что для любой координаты y можно указать дозу q, при которой значение концентрации С достигнет любой заданной величины С из интервала {0-1}, т.е. имеет место бесконечное накопление примеси.

Теперь возвратимся к реальной гауссовской функции (5). Прежде всего заметим, что если стационарное состояние слоя достижимо (при K>1), то оно легко получается аналитическим путем для любых f(у) из уравнения (10) с нулевой левой частью. Единственное условие существования стационарного состояния - ограниченность g(y) при y®µ - выполняется для всех f(y), которые убывают с ростом y быстрее, чем y^-1 , т.е. f(y)<A/y при y®µ.

Решение имеет вид

(здесь ).

Рис.3. Профили стационарного распределения концентрации имплантированной примеси при больших дозах (сплошные линии – К=1,2; штриховые – К=2; пунктир - К=3). Цифры при кривых соответствуют безразмерному среднему пробегу у0 . (Величина безразмерного коэффициента распыления К связана с истинным атомным коэффициентом распыления соотношением К=Кат*М2/М1, где М2 - среднее массовое число атомов поверхностного слоя).

Для нескольких комбинаций y₀ и K эта функция показана на рис. 3. Если речь идет о легировании материала, который уже в исходном состоянии содержит данную примесь в концентрации С₀, то стационарное состояние (рассчитываемое точно таким же образом) соответствует формуле

Толщина легированного слоя у_ф в образце, достигшем стационарного состояния (на уровне , где концентрация спадает в а раз относительно поверхностной), определяются из трансцендентного соотношения

Для легирования сплава, когда стационарное состояние описывается соотношением (17а), можно записать аналогичную формулу для определения толщины легированного слоя, однако из-за громоздкости мы эту формулу не приводим. Из (17) следует, что стационарное состояние существует для всех K<g_µ. Это - менее жесткое условие, чем для экспоненциальной функции f, поскольку условия нормировки для экспоненты и для гауссовской функции различны. Таким образом, в "состав" коэффициента распыления здесь неявным образом входит и доля отраженных ионов . Другое отличие можно отметить для критического значения K=g_µ. Для гауссовской функции распределения закон наращивания новой фазы уже не логарифмический, а ближе к

Рис.4. Зависимость безразмерного пробега от энергии при имплантации ионов в кремний: 1- H; 2- He; 3- B; 4- O; 5- P; 6- As; 7- Sb; 8- Bi.	Рис.5. То же, что и на рис.4, для имплантации в германий (или арсенид галлия).
	Рис.6. То же, что и на рис.4, для имплантации в антимонид индия.

Более детальную информацию о кинетике накопления примеси при высоких дозах имплантации можно получить с помощью ЭВМ. Программа расчета была составлена для решения уравнения (la) при нулевых начальных условиях и гауссовской функции распределения пробегов f(y), причем величина k варьировалась от 0 до 3, доза q - от 0 до 40, пробег y₀ - от 0 до 5. Кстати, для сопоставления с реальной ситуацией предварительно были вычислены величины y₀ для наиболее практически интересных систем. Зависимости y₀ от энергии представлены на рис. 4-6 при имплантации различных ионов в кремний, германий и антимонид индия. Для других систем результаты легко получаются линейной интерполяцией как по М₁, так и по М₂. Для этого можно воспользоваться приближенной формулой

где звездочками отмечены параметры искомой системы, индексами а и b - параметры систем, ближайших к искомой (по величинам М₁ и М₂), из представленных на рис. 4 - 6. В области интерполяции точность формулы (19) не хуже единиц процентов, в области экстраполяции ошибка, конечно, больше, и для очень легких мишеней (таких, как литий или графит) формулу (19) применять уже нельзя.

Кинетика роста концентрации примеси при сравнительно большом коэффициенте распыления иллюстрируется рис. 7. Выбор величин K и у₀ в данном случае соответствует имплантации фосфора в кремний при энергии 10-40 кэВ или цинка в арсенид галлия при энергии -в диапазоне 10 - 200 кэВ. Видно, что стационарное состояние достигается уже при q - 1,5 - 2, при этом максимальная концентрация, согласно (17), равна

Рис. 7. Кинетика изменения концентрационного профиля с дозой при у0=2 и k=3. Числа при кривых соответствуют величине безразмерной дозы.	Рис. 8. Зависимость максимального количества имплантированной в слой примеси СS от величины коэффициента распыления k. • Числа у кривых соответствуют величине безразмерного пробега у0.

Интегрируя (17) по у, можно получить ответ и на другой практически важный вопрос: сколько можно внедрить примеси в материал при заданных условиях имплантации? Результат интегрирования представлен графически на рис. 8. Для перевода безразмерного интеграла СS в поверхностную концентрацию N_S (ат/см²) следует пользоваться соотношением

Практическую важность представляет не только вопрос о максимальном количестве внедренной примеси, но и вопрос о дозе, при которой это достигается (точнее, при какой лозе дальнейшее облучение уже не даст существенного эффекта). Рис.9 позволяет в каждом конкретном случае выбрать оптимальную дозу легирования. Величины пробега у₀, коэффициента распыления k и дозы q_n, при которой суммарное количество внедренной примеси достигает 0,7(N_S )_µ, связаны приближенным соотношением

Максимум "стационарной" кривой на рис.7 расположен у поверхности и довольно узок (ширина его равна ~ (у₀+1). Для меньших k картина меняется. При у₀=2 и k=1 (почти критический режим, поскольку g_µ=0,95 незначительно отличается от единицы) толщина легированного слоя при стационарном состоянии уже больше четырех, но достигается это состояние крайне медленно: даже при q=10 движение фронта еще заметно (рис. 10). С другой стороны, и в приповерхностных слоях концентрация примеси также растет значительно медленнее, чем на рис. 7. Вот здесь вступает в игру "малозаметный" фактор распухания слоя. Поскольку основная масса примесных атомов внедряется в слои, довольно удаленные от поверхности, приповерхностный слой как бы "движется" навстречу потоку примеси, которая концентрируется уже за этим слоем.

Рис. 9. Зависимость кинетики накопления имплантированной примеси в слое от величины коэффициента распыления (у0 =3). Цифры у кривых соответствуют величине коэффициента распыления.	Рис. 10. Кинетика изменения профиля распределения имплантированной примеси при в y0=2 и k=1. Цифры у кривых соответствуют величине q.

Особенно заметно этот фактор влияет при малых коэффициентах распыления и при больших у₀, что хорошо видно из рис.11 (k=0, y₀=2). Несмотря на то что стационарное состояние при k=0 не существует и предельная поверхностная концентрация равна единице, процесс ее достижения здесь чрезвычайно замедлен именно из-за того, что матричные атомы с поверхности не удаляются.

Рис. 11. То же, что и на рис. 10, для у0=2 и k=0.	Рис. 12. Кинетика появления и утолщения слоя новой фазы при имплантации в режиме у0=3 и k=0. По оси абсцисс отложена безразмерная доза q, по оси ординат - безразмерная координата y. Линиями отмечены границы интервала, где концентрация имплантированного вещества составляет 0,1 (1); 0,2 (2); 0,3 (3); 0,4 (4); 0,5 (5); 0,6 (6); 0,7 (7); 0,8 (8); 0,9, (9).

В данном случае (рис.12) в легированном слое довольно быстро образуется скрытый спой новой фазы, увеличивающийся в объеме почти линейно с дозой, причем увеличение идет прежде всего за счет "встречного" движения поверхностного слаболегированного слоя, под которым "изнутри" наращивается новая фаза (хотя из-за привязки начала координат к поверхности ситуация на рисунке представляется противоположной).

Надо сказать, что понятие нулевого коэффициента распыления — это, конечно, идеализированное понятие; однако практически реализовать режим, близкий к рассмотренному, нетрудно почти для любых систем ион - мишень. Для этого полезно вспомнить, что имплантация проводится в условиях далеко не идеального вакуума, когда на поверхности мишени всегда существует слой адсорбированных атомов остаточного газа (и, к сожалению, не только остаточного газа). Толщина этого слоя определяется качеством вакуума и плотностью ионного тока, т.е. соотношением скоростей адсорбции и "сбивания" адсорбированных атомов ионным пучком. В принципе можно подобрать такие условия имплантации, что будет соблюден баланс между количеством внедренных атомов и количеством десорбированных (как бы распыленных) атомов, т.е. точно заменить распыление десорбцией. Этот метод обладает одной неприятной особенностью: параллельно с распылением идет и другой процесс — вбивание поверхностных адсорбированных атомов внутрь легированного слоя. Другой путь: для компенсации ухода атомов мишени за счет распыления можно одновременно с той же скоростью проводить напыление матричного вещества.

Рис. 13. Кинетика дозовой зависимости концентрации примеси на различных глубинах для у0=3 и k=0. Кривая 1 соответствует поверхностному слою (у=0); 2 – у=1; 3- у=2; 4- у=3; 5 – у=4.	Рис.14. То же, что и на рис.13, для у0=2 и k=0. 1- у=0; 2- у=1; 3- у=2; 4- у=3; 5- у=4; 6- у=5; 7- у=6.

Кривые роста концентрации примеси на разных глубинах показаны на рис. 13 и 14. В ряде случаев такое представление результатов оказывается более наглядным, поскольку здесь в явном виде прослеживается неодновременность процессов на разных глубинах; с другой стороны, по графикам легко определить и интервал доз, на котором происходят "основные события" для каждой координаты, и предельный уровень концентрации на заданной глубине.

Литература: