В.В.Титов

Аннотация

Рассмотрено движение ускоренных ионов в скрещенных аксиально симметричных радиальном электрическом и поперечном магнитном полях. Аналитическими расчетами и численным моделированием процесса показано, что, подбирая конфигурацию электрического и магнитного полей, можно обеспечить накопление ионов заданной массы в районе стационарной орбиты. Тем самым показана принципиальная возможность нового способа электромагнитной сепарации изотопов по массам.

Resume

The motion of the accelerated ions in crossed axial symmetrical radial electric and transverse magnetic fields is considered. It is shown with analytical calculations and with numerical modeling that it is possible to accumulate the ions of set mass in the region near the stationary orbit by selecting configuration of the electric and magnetic fields. Thereby the possibility of the new method of the electromagnetic isotope mass-separation is shown in principle.

Анализ возможностей электромагнитного разделения изотопов с применением бескамерного дугового источника ионов.

1. Введение

Малая производительность электромагнитных сепараторов с дуговым источником ионов с вытягивающей щелью (источник Нильсена) связана прежде всего с тем, что из дугового разряда в рабочую камеру сепаратора через узкую щель вытягивается лишь малая часть ионов (единицы процентов). В последнее время работами [1,2] дуговой источник модифицирован: вместо графитовой или металлической дуговой камеры стенками, ограничивающими разрядное пространство, служит электронный холловский слой, одновременно выполняющий и функции ускоряющего электрода. В результате угловая апертура ускоренного ионного пучка увеличена от 3-5° (в источнике Нильсена с узкой вытягивающей щелью) до 2л, т.е. ионы эмиттируются из дуги во все стороны.

Это сделало принципиально невозможной электромагнитную масс-сепарацию ионов традиционным способом, когда узкий пучок, проходя ту или иную часть пути в поперечном магнитном поле заданной конфигурации, магнитооптическими средствами фокусировался в определенном месте рабочей камеры, причем изображение эмиттирующей щели в ионах разной массы создавалось в геометрически разнесенных областях камеры, что и позволяло собирать эти ионы в соответствующие приемники раздельно. Для широкоапертурного пучка такой путь невозможен из-за размывающего влияния аберрации, поэтому для источников с холловским слоем необходимо искать иные пути масс-сепарации.

Простейший из таких путей состоит в следующем. Если магнитное поле, локализующее дуговой разряд, развить на достаточное расстояние за пределы этого разряда и считать его почти постоянным, то ионы, эмиттируемые боковой поверхностью дуги и ускоренные холловским слоем, будут двигаться в постоянном магнитном поле по окружностям, радиус которых пропорционален , где М – масса иона (см. рис.1).

Таким образом, расстояние максимального удаления от оси для ионов разных масс будет различным, и если приемник ионов выполнить в виде коаксиального цилиндра радиуса R, то его поверхности достигнут только ионы, радиус траектории которых не меньше R/2. Таким способом можно осуществить либо сбор ионов наиболее тяжелой массы, либо сепарацию ионов по массам на две группы: тяжелую (М>М_кр) и легкую (М<М_кр)[3]. Конечно, этот путь обеспечивает более скромные возможности сепарации (нельзя, например, выделить из общего потока ионы какой-либо из промежуточных масс), но бесспорное преимущество по производительности (в 100 и более раз) делает его весьма перспективным для тех веществ, где конечной целью является получение изотопа "крайней" массы (т.е. либо самого легкого, либо самого тяжелого). Если подходить к рассмотрению этого пути более строго и учесть важные сопутствующие процессы, то следует, видимо, данный способ считать способом не сепарации (т.е. "чистого" выделения), а обогащения изотопной смеси (Впрочем, и традиционная электромагнитная сепарация не решает на 100% проблему загрязнения сепарируемого изотопа всеми сопутствующими).

Рассмотренный способ предполагал идеализированный случай однородного (постоянного в рабочем пространстве) магнитного поля. Реально такое искусственное поле можно создать лишь в ограниченном объеме, за пределами которого поле уменьшается. Попытка проанализировать, как этот неизбежный фактор изменит картину процессов, выявила уникальную ситуацию: природа обеспечила для нас лучшие условия, чем мы сами планировали. Однако прежде чем перейти к детальному анализу этой ситуации, рассмотрим несколько общих положений.

2. Общие положения

Пусть ионный эмиттер представляет собой вертикальный плазменный круговой цилиндр радиуса r₀, конфигурация которого поддерживается вертикальным магнитным полем h₀. Боковая поверхность плазменного цилиндра окружена со всех сторон прозрачным (для ионов) коаксиальным ускоряющим электродом (в качестве которого может выступать либо сетка, либо холловский слой электронов) с потенциалом u₀. Таким образом, положительно заряженные ионы из плазмы эмиттируются боковой поверхностью цилиндра нормально к его поверхности, т.е. вылетают точно в радиальных направлениях.

Внешнее по отношению к эмиттеру пространство может быть как эквипотенциальным (U=U₀), так и неэквипотенциатьным (U=U(r)), магнитное поле в этой области также может быть как постоянным, так и меняющимся по радиусу. Единственное ограничивающее условие (пока): все изменения полей допускаются только в радиальном направлении, т.е. вся система обладает осевой симметрией.

Таким образом, система - двумерная, с центром симметрии в точке r=0. Состояние любого иона при r>r₀ можно охарактеризовать двумя полярными координатами r и j (но для анализа в силу осевой симметрии понадобится только одна координата r) и двумя временными производными (или скоростями) dr/dt и dj /dt.

Утверждения без доказательств.

1. В постоянном магнитном поле Н(r)=H₀= const при любом U(r), ограниченном по величине, траектория любого заряженного иона, эмиттированного с поверхности плазменного шнура, возвратна и зеркально симметрична.

2. В постоянном магнитном поле H(r)=const и эквипотенциальном пространстве U(r)= U₀=const для любого иона М существует единственная концентрическая стационарная траектория - окружность радиуса (в этой формуле r измеряется в сантиметрах, U – в вольтах, H – в эрстедах), по которой этот ион (с энергией eU₀) может вращаться сколь угодно долго. Других концентрических стабильных орбит у этого иона нет.

3. Ни один ион массы М, эмиттированный плазменным шнуром радиуса r₀<r₁ в силу утверждения п.1 не может попасть на стационарную орбиту, названную в п.2; он дважды пересечет ее под ненулевым углом и вернется к эмиттирующей поверхности.

4*. При постоянном магнитном поле Н(r)=Н₀= const можно обеспечить такое электрическое поле , при котором для иона массы M₀ любая из концентрических окружностей будет стационарной орбитой (в том же смысле, что и в п.2). При этом утверждение п.З остается в силе, т.е. для ионов M₀, эмиттированных плазменным шнуром в радиальном направлении, эти стационарные орбиты недоступны.

5*. "Стационарное" электрическое поле п.4 неограниченно возрастает с радиусом (dU/dr@ r); в этом поле траектория иона M₀, эмиттированного плазменным шнуром, раскручивается по спирали и ион не возвращается обратно.

6*. Ионы массы M>M₀ в условиях п.4 также раскручиваются по спирали, но более крутой, чем для ионов M₀. Ионы массы M<M₀ в условиях п.4 движутся по возвратной траектории (как в п.1), которая похожа на эпициклоиду (возможно, многооборотную).

7*. При постоянной энергии ионов, обеспеченной ускоряющим потенциалом U₀, условия п.4 могут быть обеспечены в эквипотенциальном рабочем пространстве магнитным полем, меняющимся по закону

(1)

При этом утверждения п.6 справедливы и на этот случай.

8*. При произвольном законе изменения магнитного поля H(r) стационарная траектория иона M₀ существует в том и только в том случае, если реальная кривая Н(r) пересекается с кривой (1).

9*. Хотя стационарные траектории для ионов, эмиттированных с поверхности плазменного шнура, принципиально недоступны, но длительное почти асимптотическое приближение к такой траектории (восходящая ветвь многооборотной эпициклоиды п.6) возможно при соответствующем выборе U(r) или Н(r) (или и того, и другого).

Последнее утверждение открывает возможности для нового, принципиально иного способа электромагнитной масс-сепарации ионов: отбора ионов любой заданной массы со стационарной траектории (точнее, с того малого участка D r чуть ближе этой траектории, на котором концентрируются витки многооборотной эпициклоиды).

Теперь попробуем обосновать перечисленные выше утверждения, проведя для этого некоторые аналитические расчеты и машинные эксперименты.

3. Однородное магнитное поле

3.1. Расчет потенциала стационарных орбит.

В этом разделе проводится расчет радиального потенциала, при котором любая концентрическая окружность для ионов данной массы является стационарной орбитой. Исходное уравнение движения однозарядного иона массы М по окружности радиуса r в радиальном электрическом поле U и магнитном поле Н, направленном перпендикулярно к плоскости движения иона:

где v- скорость иона, е- заряд электрона, с- скорость света.

C учетом того, что , т.е. Mv²=2eU, получим:, или, после замены переменных : . Очередная замена переменных при начальных условиях дает решение: . Учитывая все подстановки, получим для стационарного потенциала выражение:

Здесь - не что иное, как ларморовский радиус иона массы М с энергией eU0 в магнитном поле Н. Для анализа полученного решения целесообразно обезразмерить все переменные. Их всего две, имеющие размерность координаты и энергии. Естественно за масштабные единицы принять независимые параметры: начальный потенциал U0 и радиус r0 плазменного шнура, с поверхности которого эмиттируются эти ионы.

(3)

В этом случае искомая функция безразмерной энергии выглядит так:

где х =r/r₀;y= U(r)/U(r₀) ; a = r ₀/r₀. Эта функция (4) построена на рис.З для нескольких значений а. Все величины на этом графике - безразмерные, в соответствии с формулой (4).

Рис.З. Потенциал стационарных орбит при различных значениях а.

3.2. Уравнения движения иона М

На рисунке 4 исходное направление обозначено горизонтальной линией,
радиус-вектор текущего положения иона - наклонной линией r,
направление мгновенного вектора скорости иона - наклонной v,
b- угол между вектором скорости и исходным направлением.
Угол отклонения положения иона от первоначального направления обозначен как j,
угол между вектором скорости и радиус-вектором обозначен a,
радиус кривизны траектории иона обозначен R.

В этих обозначениях модуль вектора скорости иона равен:

а его компоненты в полярной системе координат:

Радиус кривизны траектории определяется из уравнения баланса трех сил: центробежной, магнитной и электрической: , откуда следует:

Теперь можно записать кинетические уравнения для переменных, определяющих траекторию иона М:

Поделив (9) и (6) на (7) (при условии, что угол a¹ 0), получим уравнения, описывающие изменение радиуса и угла наклона траектории иона:

Перейдем к безразмерным переменным, пользуясь теми же масштабными единицами, что и в предыдущем разделе, т.е.:

где , а угловые переменные a и j имеют нулевую размерность.

В последнем уравнении функция z(x) является заданной извне (это форма внешнего электрического поля), поэтому реальное решение можно получить лишь задав конкретный вид этой функции. В предыдущем разделе мы получили выражение для потенциала стационарных орбит, естественно с него и начать.

3.3. Движение иона М в поле потенциала стационарных орбит

Итак, посмотрим, какова будет траектория иона М в поле потенциала стационарных орбит, для которого

Уравнения траектории в этом случае выглядят так:

Поделив (10) на (9) (при условии a¹p /2), получим уравнение

Решение этого уравнения получается методом разделения переменных:

где константа интегрирования определяется из начальных условий :

Рис.5. Траектории иона М в "собственном" потенциале стационарных орбит при разных относительных величинах a =r 0/r0 ларморовского радиуса.

Из (17) очевидно, что sina ни при каких х>1 не может достичь единицы, т.е. решение имеет место при любых х, спираль траектории раскручивается бесконечно, как это видно из рис.5. Можно подставить (17) в любое из уравнений (14) или (15) и получить кинетику изменения координаты или угла наклона траектории в зависимости от угла поворота ф. Однако сейчас важнее получить выражение для шага спирали, по которой движется ион. Решение (17) позволяет получить это выражение.

При и шаг спирали приблизительно постоянен и равен:

Если поле приложено во всем пространстве вне плазменного шнура, то a ₀ = 0 , а величина а обычно существенно больше единицы, так что , т.е. шаг спирали при а=5, например, составляет » 27 радиусов плазменного шнура.

Другой вариант, когда поле прикладывается только начиная с некоторого радиуса, существенно превышающего радиус плазменного шнура, и ионы М к этому радиусу уже завернули на угол a ₀, близкий к p /2. В этом случае масштабная единица по величине приближается к 2r _о, величина а приближается к 1/2, a sina ₀ приближается к единице. Положив a ₀=p /2-b , где b - малая величина, получим, что прирост безразмерного радиуса за один оборот составит ,но поскольку единица измерения здесь уже не r₀, а 2r ₀=2a (а- старое значение параметра!), то в единицах r₀ шаг спирали будет равен , , и при том же а=5 второй путь дает сравнимый результат только при , т.е. b <0,16 радиана или всего около 10°. Заметим, однако, что последний вывод справедлив при условии, что потенциал стационарных орбит будет также изменен в соответствии с изменившимся масштабным коэффициентом. Более подробно этот режим движения будет рассмотрен ниже. Здесь для иллюстрации сказанного приведен рис. 6, на котором показаны траектории ионов, входящих в область электрического поля стационарных орбит под определенными углами.

Основываясь на уравнениях настоящего раздела, можно утверждать, что в поле потенциала стационарных орбит никаких иных стационарных орбит, кроме концентрических, нет и быть не может, так как для любого конечного отклонения движения от тангенциального направления это отклонение никогда не вернется к нулевому, т.е. любая наклонная траектория раскручивается до бесконечности.

Суммируя полученные результаты, можно сказать, что в потенциале стационарных орбит иону, генерированному плазменным шнуром, ни при каких условиях не суждено на "свою" стационарную орбиту выйти, траектория его движения - спираль, близкая к спирали Архимеда с шагом, значительно превышающим исходный поперечный размер плазменного шнура. Естественно поэтому искать какую-либо иную форму потенциала. Для начала исследуем движение иона М в потенциале той же формы, но немного отличающемся по абсолютной величине.

Рис.6. Траектории иона М в "собственном" поле стационарных орбит при разных углах входа (градус) в область поля.

3.4. Движение ионов в "чужом" потенциале стационарных орбит.

Уравнения движения иона М остаются теми же:

где x(0)=1; a(0)=0; z(x)=z(b,x) отличается от ранее использовавшегося тем, что в нем вместо ларморовского радиуса a иона М входит ларморовский радиус b¹ a. Будем называть “тяжелым” потенциал при b=a (1+g); (g>0), и “легким” - при b=a (1-g).

Все формулы для z, dz/dx и др. остаются того же вида, что и прежде, но с множителем (1+g)=b/a:

(10a)     (20)

Таким образом, в “тяжелом” потенциале правая часть (14) никогда не может быть меньше g, т.е. об асимптотическом движении не может быть речи, угол >ap/2 и пройдет его, как и всякое другое значение угла. Это означает, что траектория иона будет конечной и возвратной, симметричной. Точку максимального удаления траектории можно определить из решения системы уравнений (10а)-(20):

Решение (с учетом нулевых начальных условий):

Угол поворота траектории a=p/2 дает:

В “легком” потенциале (b=a (1-g)) аналогичные расчеты дают решение:

имеющее реальный смысл при любых х, т.е. a никогда не достигнет p/2, раскручивание спиральной траектории идет быстрее, чем в “собственном” потенциале стационарных орбит; спираль здесь уже не арифметическая (Архимеда), а геометрическая, с постоянно увеличивающимся шагом.

Вернемся к движению в "тяжелом потенциале". Следующий шаг - рассчитать расстояние между соседними витками траектории на максимальном удалении иона, вблизи поворота. Для этого вернемся к исходному уравнению (20) и, подставив в него (23), получим при g <<1:

достаточно слабо изменяется в районе , поэтому a(f) можно приближенно считать равным , где f- угол поворота, отсчитываемый от точки максимального отклонения. Тогда:

т.е. полоса, в которой укладываются три самых удаленных витка траектории, имеет ширину . Например, при b=5 и g =0,01 максимальное удаление составляет , .а ширина "трехвитковой" полосы: . Если у уменьшить до 0.001, то х_mах сдвинется к 100, а D х уменьшится до 3.6. Оба эти варианта не вызывают оптимизма, т.к. в первом случае входное окно ионного приемника оказывается слишком широким (а значит, в него попадет довольно много ионов не той массы, т.е. качество сепарации будет невысоким), во втором случае объем рабочей камеры оказывается довольно большим, что потребует серьезных затрат на создание в этом объеме магнитного поля.

Впрочем, три витка - это слишком жесткое требование, нужные ионы можно уловить и в том случае, если они задержатся в районе максимального удаления хотя бы на четверть витка (тогда на радиусе улавливания придется поставить не один, а четыре равнорасположенных приемника ионов). В последнем случае ширина рабочей полосы при b=5 и g =0,01 составит всего :

На следующих двух рисунках показана траектория иона М в "тяжелом" потенциале стационарных орбит (ПСО) в полярных координатах (Рис.7) и в координатах "угол поворота-расстояние от оси" (Рис.8).

Рассмотрим теперь ситуацию, когда часть пути ион М проходит в эквипотенциальном пространстве и лишь начиная с некоторого радиуса r₁>r₀ прикладывается электрическое поле. Если это поле имеет ту же конфигурацию ПСО, то изменения сводятся к тому, что в расчетных формулах увеличиваются r₀ и a ₀. Выше мы убедились, что для "собственного" ПСО такое нововведение мало что дает. Посмотрим, как будет обстоять дело для "чужого" ПСО. Формула (22) в этом случае принимает вид:

Предельное удаление (при a = p /2) дает расстояние от оси:

Определим скорость изменения угла наклона на максимальном удалении:

Пока угол a₀ далек от прямого, формула (29) практически совпадает с (25), но как только значение (1-sina₀) сравняется по величине с g, ситуация существенно меняется. Если ион к моменту входа в область электрического поля проходит почти половину окружности радиуса r₀, то масштабная единица увеличивается от начального радиуса r₀ плазменного шнура до ~2r₀, а величина b в соответствии с этим уменьшается до ~0.5. Например, на радиусе 2r₀ отклонение угла a от прямого составляет ~1/2b* , при этом sina @ 1-1/4b*² , где b*=r₀/r₀ - “старое” значение b. Если 1/4b*^2<< g, то правая часть (27) стремится к g/b*, что оказывается существенно меньше 2g.

3.5. Движение иона М в квадратично возрастающем радиальном электрическом поле

Потенциал стационарных орбит (ПСО), в безразмерном виде выраженный формулами (1) и (2), вырождается при a=1/2, т.е. при условии, что ларморовский радиус в точности равен половине начального радиуса. Это условие соответствует ситуации, когда ион, эмиттированный с поверхности плазменного шнура радиуса r₀, движется в эквипотенциальном пространстве и удаляется на расстояние 2r₀ от оси симметрии, и именно с этого расстояния и начинается область с ненулевым электрическим полем. К этому моменту ион М проходит почти половину ларморовской окружности и пересекает границу поля 2r₀ под углом a₀=1/2a₀, где a ₀=r₀/r₀ . Таким образом, решение для этого вида движения получается при подстановке в (12)-(17) a=1/2 и a₀=1/2a₀ (c учетом того, что масштабный коэффициент для расстояний теперь будет не r₀, а 2r₀).

Рис.9. Траектории ионов в квадратичном электрическом поле при различных значениях угла входа в область поля.

Чтобы на одном графике увидеть, как меняется траектория иона в зависимости от близости реального потенциала к “собственному” ПСО, на Рис.9 приведены графики траекторий в диапазоне углов наклона g от -1/2a₀ до +1/2a₀, т.е. от точно тангенциального входа до удвоенного “собственного” угла наклона. Заметим, однако, что это изменение угла наклона рассматривается не как смещение границы поля при сохранении им качества “собственного” ПСО, а прежде всего как изменение потенциала, т.е. картина траекторий как бы имитирует движение ионов разных масс в одном и том же потенциале, а величина g непосредственно характеризует различие масс (через различие z - безразмерного ларморовского радиуса ионов).

3.6. Машинный эксперимент по проведению ионов кальция в поле потенциала стационарных орбит (ПСО).

В качестве исходных данных взяты параметры установки СПРУТ [4]: радиус плазменного шнура - 1 см, радиус рабочей камеры – 11,5 см, диапазон используемых значений напряженности магнитного поля - 1350-3000 эрст, диапазон напряжений на холловском слое - 50-300 вольт. Рассматриваются изотопы кальция с атомным весом 40, 44, 46 и 48 а.е.м. (Эти изотопы представляют практический интерес с точки зрения реального экономически оправданного применения метода). Потенциал стационарных орбит в этом случае для U₀=100 вольт и Н=1300 эрстед имеет начальный участок торможения (U<U₀), а начиная с радиуса ~3,5 см - монотонно возрастающий участок. Ввиду малого различия масс изотопов кальция (40, 44, 46 и 48 а.е.м.) кривые потенциала стационарных орбит для них визуально отличаются незначительно; однако на поведении ионов это незначительное различие сказывается весьма существенно.

На следующих четырех рисунках показаны траектории четырех изотопов кальция в каждом из четырех потенциалов. Для большей наглядности диапазон расстояний увеличен до 100 см. Сравнивая кривые этих графиков, нетрудно видеть, что по мере "утяжеления" потенциала стационарных орбит все легкие изотопы заворачивают к началу координат, причем при различных величинах расстояния максимального удаления.

Таким образом, выбирая вид ПСО, нетрудно разделить весь поток ионов, эмиттированных плазменным шнуром, на два потока: ионы с массой М>М_ПСО уходят на бесконечность и их можно собрать на любой достаточно удаленный приемник; ионы с массой М<М_ПСО вернутся в область источника и могут уйти из рабочей камеры только благодаря ненулевой вертикальной компоненте скорости, не подверженной влиянию магнитного поля, т.е. уйти по вертикали на любую из крышек цилиндрической рабочей камеры или на любой из полюсов магнита (если именно они ограничивают рабочий объем камеры). Однако, как и следовало ожидать, никакой стабильной орбиты ионы не "чувствуют" ни в одном из вариантов ПСО.

Интересно посмотреть, насколько сильно можно развести ионы разных легких изотопов в "тяжелом" ПСО. Хотя все они имеют возвратные траектории, но максимальное удаление у них - разное и можно попытаться отобрать наиболее тяжелый из рассматриваемых изотопов, поставив приемник ионов на расстоянии, соответствующем именно максимальному удалению самого тяжелого изотопа. Такой машинный эксперимент был поставлен при следующих условиях: магнитное поле Н=1300 эрстед, ускоряющее напряжение U₀=100 вольт, потенциал стационарных орбит построен для массы 64 а.е.м. Результат представлен на рис.14. В таблице приводятся численные значения расстояния максимального удаления ионов разных масс для этого случая.

4. Постоянная энергия ионов и неоднородное магнитное поле.

Как известно, конфигурацию электрического поля изменять существенно легче, чем магнитного, поэтому, например, магнитное "поле стационарных орбит" (1) практически реализовать можно лишь в очень незначительном диапазоне радиусов и лишь в крайне узком вертикальном слое, за пределами которого резко возрастает z-компонента поля и не менее резко падает r-компонента [4]. Поскольку практическая значимость настоящего исследования наступает лишь при условии, что рабочая длина реального ионного эмиттера будет не менее 10 см, то ясно, что о магнитном поле Н~ 1/r надо забыть и ориентироваться на реальные конфигурации поля, допустимые при наличии внешних магнитопроводов, находящихся за пределами вакуумной зоны рабочей камеры масс-сепаратора.

Реальное магнитное поле в установках с безжелезным соленоидом (например, в установке СПРУТ [4]) меняется в параксиальной зоне по закону, близкому к параболическому:

Рассмотрим именно этот вид поля и попытаемся проанализировать движение ионов с постоянной энергией в таком магнитном поле.

4.1. Уравнения движения иона М

Используя рис.3 и те же соображения, что в разделе 3.1, определим компоненты вектора скорости :

Радиус кривизны траектории иона определяется из уравнения баланса только двух сил, поскольку электрическое поле отсутствует:

Кинетические уравнения движения иона М можно записать в виде:

Поделив (6) и (33) на (7) (при условии a¹ 0), получим:

Для перехода к безразмерным величинам используем замену:

Поделив (35) на (10а), получаем уравнение:

Переменные а и х в этом уравнении не разделяются, так что аналитическое решение получить не удается.

Из системы (10а)-(35) можно определить х_ст, при котором выполняются условия dx/dj=0 и a=const=p/2. Эти условия, подставленные в (35) и (36), дают кубическое уравнение (Кстати, уравнение (37) можно было получить, просто приравняв друг другу правые части уравнений (1) и (30) для реального и: "стационарного" магнитного поля):

Уравнение (37) имеет канонический вид, дискриминант этого уравнения равен:

В зависимости от знака дискриминанта уравнение (37) имеет либо три (D<0), либо одно (D>0) действительное решение. Константы b и r ₀ взаимно независимы (b задается профилем спада магнитного поля, а величиной r₀ можно управлять, меняя ускоряющее напряжение U₀). При D=0 два решения из трех сливаются, тем самым в уравнении (37) остается два решения.

Геометрически ситуацию можно пояснить следующим образом. Для заданной массы М и ускоряющего напряжения U "стационарное" магнитное поле имеет вид гиперболы, описываемой уравнением (1). Очевидно, что любая из стационарных орбит обязательно лежит на этой гиперболе. Это значит, что все решения уравнения (37) соответствуют точкам пересечения реальной кривой (30) с гиперболой (1), как показано на рис.15. Третья (самая дальняя) точка пересечения относится уже не к первому квадранту графика, а к четвертому, который соответствует противоположному знаку магнитного поля (а значит, и противоположному направлению вращения иона по стационарной орбите).

Очевидно, что эта последняя из точек пересечения (при противоположном знаке Н) нас не очень интересует (пока), а на первых двух следует остановиться подробнее. Ясно, что, как и в случае H=const, U=var(r), не стоит рассчитывать на то, что ион, эмиттированный с радиуса r₀, попадет на стационарную орбиту. Угол, под которым он пересекает эту окружность, зависит от того, насколько сильным будет воздействие на него магнитного поля на меньших радиусах.

Меняя U, мы на графике рис.15 меняем положение гипербол (при росте U они раздвигаются, при уменьшении, наоборот, "вжимаются" в углы, образованные осями координат). При этом меняется "поворачивающий" эффект магнитного поля. Очевидно, если реальное магнитное поле выше, чем "стационарное", то доворачивающий эффект тоже выше, и то рассогласование углов, которое было обусловлено начальным радиальным направлением движения иона, будет скомпенсировано в большей степени. И наоборот, если реальное поле меньше "стационарного", то компенсация рассогласования углов будет меньше, и нон заведомо "проскочит" стационарную орбиту под большим утлом.

Рис. 15. К определениею положения стационарной орбиты в неоднородном маагнитном поле.

Из сказанного следует, что первая (ближняя к оси) стационарная орбита радиуса r_1ст ни при каких условиях недоступна для ионов, эмиттируемых плазменным шнуром, т.к. при r₁<r_1ст реальное магнитное поле везде меньше "стационарного". В то же время для второй стационарной орбиты r_2ст ситуация, не столь безнадежна, т.к. на участке между r_1ст и r_2ст реальное магнитное поле сильнее "стационарного" и в нашей власти регулировать этот фактор, подбирая U так, чтобы избыточное доворачивающее магнитное поле скомпенсировало исходное рассогласование углов в любой заранее заданной степени, в частности, до нуля. В последнем случае траектория иона должна асимптотически приближаться к стационарной траектории r_2ст (никогда ее, тем не менее, не достигая).

Третья стационарная траектория r_3ст математически обусловлена тем, что уравнение (1) выполняется и при отрицательных значениях Н и v, т.е. при противоположных направлениях векторов скорости и магнитного поля. Реально этот случай не имеет места хотя бы потому, что параболический закон изменения поля реально справедлив лишь при r<~0,8b (Впрочем, искусственно созданное магнитное поле всегда имеет на периферии участок с противоположным знаком (в силу замкнутости силовых линий) и не исключена возможность того, что на этом участке будут еще стационарные траектории. Однако анализ показывает, что для изменения направления движения иона на противоположное доворачи-вающего действия магнитного поля на периферийных участках явно недостаточно).

Таким образом, получается, что условие вывода требуемых ионов М₀ в район стационарной орбиты может быть выполнено только для второй из перечисленных орбит. Это условие выполняется (при заданной величине h₀) при единственном значении ускоряющего напряжения; отклонение от этого значения приводит к тому, что ион либо завернет обратно, не дойдя до стационарной орбиты, либо пересечет эту орбиту под конечным углом и уйдет на бесконечность. Кстати, это означает, что для любой конкретной комбинации h₀ и U ионы только одной массы М₀ могут быть накоплены в районе стационарной орбиты, для всех остальных масс данное ускоряющее напряжение оказывается либо недостаточным (М<М₀), и они завернут обратно гораздо раньше, либо, наоборот, избыточным (М>М₀), что приведет к бесконечной раскрутке траектории.

4.2. Определение положения стационарной орбиты в неоднородном магнитном поле для ионов, эмиттированных плазменным шнуром.

Попробуем теперь словесные утверждения предыдущего раздела перевести на строгую математическую базу. Искомая стационарная орбита, "доступная" для ионов, эмиттированных плазменным шнуром, должна удовлетворять следующим двум условиям:

1) Центробежная сила, действующая на ион М, вращающийся по этой орбите радиуса r_c, должна в точности компенсироваться магнитным полем на этом радиусе.

2) Поле Н(r) при r<r_c должно иметь такое распределение, чтобы к моменту достижения ионом М радиуса r_c угол a между вектором скорости и радиус-вектором был в точности равен л/2.

Оба условия можно записать в виде уравнений. Первое условие соответствует уравнению (1):

Второе условие соответствует закону Буша [5] для движения заряженной частицы в магнитном поле. В соответствии с этим законом максимальное удаление частицы М с энергией U от точки эмиссии r=r₀ в полярных координатах определяется соотношением:

Сопоставив левые части обоих уравнений, получим:

(40)

Интересно, что из уравнения исчезли все "некоординатныс" переменные (М, U, Н_о), r_c зависит только от начального радиуса r₀ и константы b спада магнитного поля.

После замены х= r_c/b; x₀=r₀/b и приведения подобных членов получаем биквадратное уравнение:

Промежуточное решение

должно быть реальным, т.е. подкоренное выражение обязано быть положительным, что выполняется при x₀<2 (в соответствии с реальностью х₀<<1). Поскольку промежуточное решение должно быть не только реальным, но и положительным, то возникает еще одно ограничение - положительный знак перед корнем, так что в реальной области у уравнения (41) только один корень (с учетом опять же только положительного знака при извлечении второго корня):

На рисунке 16 показано, как изменяется положение стационарной орбиты для ионов, эмиттируемых с радиуса r₀, в зависимости от величины этого радиуса. При бесконечно малом r₀ получается , что при b=40 см составляет 32,66 см. Если же в (43) подставить r₀=1 см, то значение r_с возрастет до 32,69 см, т.е. изменение совершенно несущественно. Однако дальнейшее поведение графика рис.16 убеждает в том, что существует и еще одно реальное ограничение, связанное с тем, что параболический закон изменения поля приближенно справедлив только на расстояниях, существенно меньших величины b, т.е. в частности, радиус стационарной орбиты не может быть больше b, так что увеличив r₀ до ~0,5b, мы выходим в область r_c>b, т.е. в область отрицательных значений поля.

Вычислив точное значение r_с, нетрудно теперь определить и точное значение безразмерного параметра, связывающего основные размерные величины процесса:

(в последней формуле все размерности - в тех же единицах, что и в формуле (1), т.е. сантиметр, секунда, вольт, эрстед и а.е.м.). Стоит обратить внимание, что эта аналитическая формула справедлива только для квадратичной зависимости Н(r). Однако нетрудно провести аналогичные выкладки и для других функциональных зависимостей Н(r), что мы сейчас и сделаем.

Очевидно, существенную роль играет крутизна спада магнитного поля. Поэтому рассмотрим две алгебраические функции: линейную Н(r)=Н₀(1-r/b) и кубическую H(r)=H₀[l-(r/b)³] (см. Рис.17).

Используя соотношение r₀“b , т.е. учитывая пренебрежимо малый вклад свободного члена в исходных уравнениях для r_с (аналогичных уравнениям (40) и (41) для квадратичной функции), нетрудно получить, что для линейного спада r_c» 0,75b, для кубической параболы r_с=0,853b. Безразмерное число в формуле (44) для линейного спада магнитного поля составляет 768, для кубической параболы - 450. Таким образом, можно утверждать, что чем круче спад магнитного поля, тем дальше отодвигается г_с от начала координат.

4.3. Машинный эксперимент по проведению ионов кальция в неоднородном магнитном поле

Существенным фактором при попытке практического использования неоднородного магнитного поля является, во-первых, величина пространственного разведения соседних изотопов, а во-вторых, точность соблюдения "идеальных" условий для накопления нужного изотопа на радиусе, близком к стационарному. Для проверки и оценки масштаба воздействия этих факторов была проведена серия машинных экспериментов по расчету траекторий ионов Са⁴⁶ в магнитном поле Н=Н_о(1-(r/40)²) при идеальном соответствии ускоряющего напряжения расчетному и при отклонении этого напряжения на 0,25 В (~0,05%) и на 4 В (~0,8%). Результат показан на рис. 18.

Следующий эксперимент характеризует качество разделения соседних изотопов. В этом случае ускоряющее напряжение считалось постоянным и рассматривалось движение изотопов Са⁴⁴, Са⁴⁶ и Са⁴⁸. Результат показан на рис. 19.

Рис. 19. Траектории ионов кальция в неоднородном магнитном поле при ускоряющем напряжении, соответствующем накоплению изотопа Са46.

Из графиков видно, что легкий изотоп Са⁴⁴ не доходит до стационарной орбиты на 3,5 см, тяжелый изотоп Са⁴⁸ пересекает стационарную орбиту под углом ~0,2 радиана, т.е. около 12⁰.

Более детальный анализ этого эксперимента с учетом возможных колебаний ускоряющего напряжения показал, что при расчетном напряжении ~488 вольт перемешивание соседних изотопов кальция начинается, когда колебания напряжения достигнут ±10 вольт. Результаты анализа этого эксперимента сведены на рис. 20 и 21.

	Рис.20. Поведение легкого изотопа Са44 и выделяемого изотопа Са46 при колебаниях ускоряющего напряжения.
	Рис.21. Поведение тяжелого изотопа Са48 и выделяемого изотопа Са46 при колебаниях ускоряющего напряжения (dx - расстояние от точки поворота траектории до расчетной стационарной орбиты

5. Однородное магнитное поле-II.

Обобщая результаты предыдущего раздела, можно утверждать, что для накопления сепарируемых ионов массы М на определенной орбите радиуса г_с необходимо выполнение двух условий:

1. Центробежная сила, действующая на ион М, вращающийся на этой орбите радиуса г_с, должна в точности компенсироваться электрическим и/или магнитным полем на этом радиусе.

2. Электрическое и/или магнитное поле при r<r_c должно иметь такое распределение, чтобы к моменту достижения ионом М радиуса r_с его движение стало в точности тангенциальным.

В разделе 4 для эквипотенциального пространства было определено магнитное поле стационарных орбит (МПСО) и показано, что накопление ионов в районе стационарной орбиты возможно в том случае, если реальное магнитное поле при r<r_с на определенном участке обладает большей доворачивающей силой, чем МПСО. Нетрудно по аналогии предположить, что в однородном магнитном поле, для которого в разделе 3 также было определено электрическое поле стационарных орбит (ЭПСО), можно подобрать реальное электрическое поле такое, чтобы выполнялись оба названные выше условия. Это значит, в частности, что на участке r<r_c электрическое и магнитное поля в совокупности должны обладать большей заворачивающей силой, чем в случае точного ЭПСО. Отсюда напрашивается вывод, что график функции реального электрического потенциала должен на этом участке (весь или частично) располагаться ниже графика ЭПСО.

Сравнивая кривые на рис. 3 и 17, нетрудно видеть, что при манипулировании электрическими полями в однородном магнитном поле разнообразие ситуаций гораздо больше, чем в случае неоднородного магнитного поля и эквипотенциального рабочего пространства. Фактически здесь на одну степень свободы больше, т.к. можно менять не только первичный ускоряющий потенциал U_о, но также и потенциал на радиусе максимального удаления, и параметр, определяющий функциональный вид потенциала на промежуточном участке r₀<r<r_c.

Точный анализ всех возможностей варьирования электрического поля здесь, наверное, преждевременен, поэтому ограничимся для начала одним-единственным видом потенциала - параболическим. Например, примем a=r ₀/r₀=10 и U(x=2a-1)=U₀ и исследуем параболический потенциал вида:

где U_о - ускоряющий потенциал холловского слоя, U₁=U₁(x) - варьируемый потенциал, х=r/r₀ - безразмерный радиус, r ₀=r (x₀) -ларморовский радиус иона при r=r₀.

Для этого пробного случая графики ЭПСО и реального поля пересекаются, как показано на рис. 22.

Рис.22. Распределение потенциала для ЭПСО и параболического потенциала (45).

Очевидно, варьируя величину U₁ в формуле (45), можно перемещать параболу (сохраняют свое положение только две точки: r=1 и r=19), либо "продавливая" ее к горизонтальной оси, либо "уплощая" вплоть до горизонтальной прямой.

Аналогия с графиками рис.17 для МПСО в данном случае неполная, и вот почему. В случае неэквипотенциального рабочего пространства точка равновесия сил (стационарная орбита) характеризуется равновесием уже не двух сил (центробежной и силы Лоренца), а трех, т.к. вступает в игру градиент электрического поля. На графиках рис.22 точки пересечения кривых соответствуют совпадению значений потенциала, а градиенты потенциала при этом вовсе не совпадают (иначе было бы не пересечение, а соприкосновение, касание кривых). Поэтому для определения местоположения стационарной орбиты, доступной для ионов, эмиттируемых с радиуса r₀ , нужно строить графики более сложных функций - силовых, учитывающих как U(r), так и dU/dr(r).

Воспользовавшись выкладками раздела 3.1, нетрудно установить, что необходимая нам силовая функция определяется выражением:

где r(r) - текущее значение ларморовского радиуса иона.

Рис.23. Ход силовых функций (45) для ЭПСО и реального (параболического) потенциала (44).

На графиках рис. 23 показан ход силовых функций Ф(r) для ЭПСО и параболического потенциала. Вот здесь уже точки пересечения действительно соответствуют реальным стационарным орбитам, к которым могут быть подведены ионы с радиуса r=0.

Машинный эксперимент по проверке полученных результатов вновь был поставлен для ионов кальция. Для изотопа Са⁴⁶ расчетная величина U₀ составляет 102 вольта (при этом ларморовский радиус равен 10 см, радиус эмиттера - 1 см). Величина U₁ при этих параметрах оказывается равной 30,3 вольта, радиус стационарной орбиты - 13,07 см. Траектории сепарируемого и двух соседних изотопов кальция показаны на рис. 24. Видно, что, как и в неоднородном магнитном поле, потоки ионов разделяются на три: легкий Са⁴⁴ заворачивает к эмиттеру, не доходя до стационарной орбиты, тяжелый Са⁴⁸ пересекает эту орбиту и уходит дальше.

Рис.24. Траектории трех изотопов кальция в однородном магнитном поле и неэквипотенциальном электрическом поле (44).

На следующих двух рисунках показано более детально поведение каждого из изотопов при отклонении величины ускоряющего напряжения от расчетного

	Рис.25. Поведение изотопов Са44 и Са46 при отклонении ускоряющего напряжения U0 от расчетного.
	Рис.26. Поведение изотопов Са46 и Са48при отклонении ускоряющего напряжения U0 от расчетного.

Качественный ход кривых на рисунках 20-21 и 25-26 почти одинаков, но есть и одно заметное отличие. В обоих случаях максимальное отклонение напряжения на графиках составляло ~4-5%. И если для тяжелого изотопа предельное отклонение напряжения действительно близко к этим 5% как в первом, так и во втором случаях, то для легкого изотопа ситуация иная: в неоднородном магнитном поле граница допустимого колебания напряжения также близка к 5%, а вот в однородном магнитном поле легкий изотоп при 5%-ном отклонении напряжения все еще очень далеко отстоит от равновесной орбиты, т.е. здесь ситуация несколько более благоприятная с точки зрения отделения изотопа от более легких.

6. Заключение.

Итак, на основании всего изложенного выше можно сделать основной вывод: электромагнитную сепарацию ионов по массам можно осуществить не только ионнооптическими методами (т.е. формированием ионнооптических изображений эмиттера ионов), но и принципиально иным способом, позволяющим в максимальной степени использовать эмиссионную способность дугового разряда. При этом, подбирая соответствующим образом электрические и магнитные поля, можно обеспечить сепарацию не только наиболее тяжелого из эмиттированных ионов, но и ионов любой наперед заданной массы.

В настоящей работе рассмотрены только два простейших варианта комбинации полей в рабочем пространстве: 1) однородное магнитное поле и радиальное электрическое поле и 2) неоднородное магнитное поле при отсутствии электрического поля. В обоих случаях проанализирована лишь малая часть возможных вариантов конфигурации управляющих полей. Более сложный случай комбинирования неоднородного магнитного поля и ненулевого радиального электрического поля вообще остался за рамками исследования, так как здесь в нашем распоряжении оказываются уже не две, а три варьируемых величины (параметр функции U(r) и вид функции Н(r)), и поиск оптимальных вариантов является самостоятельной и довольно объемной задачей.

Из двух рассмотренных вариантов нельзя выбрать "наилучший": каждый из них обладает своими преимуществами и недостатками, роль которых на практике зависит от конкретной задачи.

Однородное магнитное поле реализовать сравнительно просто, причем параллельность силовых линий можно обеспечить на довольно большом протяжении. Это означает, что дуговой эмиттер ионов будет иметь большую длину и, соответственно, сможет выдать большой ток ионов, т.е. обеспечить высокую производительность. Но у этой системы есть два недостатка. Во-первых, необходимость создания электрического поля определенного профиля потребует введения в рабочее пространство электродов, задающих распределение потенциала, и если это будут периферийные металлические электроды, то обеспечение нужного радиального распределения одновременно с поперечной однородностью электрического поля становится серьезной задачей, в ряде случаев принципиально неразрешимой. Если этими электродами будут слои "вмороженных" в магнитное поле электронов, создаваемые специальными электронными эмиттерами, то технически задача оказывается не менее сложной. В любом случае торцевые стенки цилиндрической рабочей камеры окажутся напичканными всевозможной высоковольтной электроникой, занимающей достаточно много места в весьма дорогом пространстве однородного магнитного поля.

Второй неприятный момент в этом варианте связан с тем, что для отбора сепарируемых ионов придется ввести в рабочую зону некий ионный приемник (или несколько таких приемников), который неизбежно исказит электрическое поле и лишит его осевой симметрии. К чему это приведет, сейчас сказать трудно, но учитывая высокую чувствительность траектории сепарируемых ионов к малым отклонениям потенциала (особенно в области самых малых отклонений, как это видно из рис. 20 и 25), можно думать, что ничего хорошего здесь ожидать не придется.

Неоднородное магнитное поле реализуется, вообще говоря, само собой, а если учесть при этом, что можно обойтись без электрического поля в рабочем пространстве, то ситуация становится просто соблазнительной по простоте. Однако и здесь есть принципиальное ограничение, связанное с бочкообразной формой силовых линий магнитного поля в рабочем пространстве. Вне зависимости от того, каким способом создается это поле (соленоиды или постоянные магниты, с железом или без оного), исправить изогнутость силовых линий неоднородного магнитного поля принципиально невозможно. В случае электрического поля еще можно было сформировать прозрачный для ионов управляющий или корректирующий электрод из вмороженных электронов. Для магнитного поля такую же роль мог бы сыграть слой идеального диамагнетика, но твердотельный сверхпроводник в этой роли не проходит по причине непрозрачности для ионов, а экзотический плазменный сверхпроводник потребовал бы для своего создания и поддержания столь больших энергетических затрат, что едва ли это можно считать оправданным. И приходится мириться с тем, что в неоднородном магнитном поле условия для обеспечения процесса могут быть реализованы лишь в сравнительно тонком слое, прилегающем к плоскости симметрии магнитопровода, т.е. при малой длине ионного эмиттера и, соответственно, малой производительности по току.

Опыты численного моделирования процесса, приведенные выше, не дают оснований для более глубоких выводов, хотя основные направления дальнейших расчетных исследований можно уже наметить: это, во-первых, поиск режимов таких, когда и магнитные, и электрические поля были бы максимально приближенными к естественному полю простейших конструкций (например, электрическое поле двух коаксиальных цилиндрических электродов плюс однородное магнитное поле), а во-вторых, переход от двумерной системы к трехмерной, когда бочкообразность магнитного поля, например, учитывается формой поверхности стационарных орбит (вместо боковой поверхности цилиндра - внешняя часть поверхности тора).

И конечно, на очереди стоит ряд вопросов, связанных с проблемами и препятствиями иного характера, более приближенными к практике. Стабильность условий дугового разряда, колебания эмиттирующей поверхности плазменного шнура, отклонения от осевой симметрии всей системы (по положению эмиттера, по взаимному положению электрического и магнитного полей, по отклонениям векторов напряженности обоих полей от расчетного, и т.д.), вакуумные условия и длина свободного пробега (или время жизни) ускоренного иона, явления резонансной перезарядки ионов, искажения полей объемным зарядом и током ионов, устойчивость формы областей этого объемного заряда и тока - вот перечень только тех проблем, которые уже "на виду" сейчас и каждая из которых при определенных условиях может оказаться фатальной. А за ними уже маячат проблемы чисто технических, конструктивных решений каждого из объектов, необходимых для практической реализации способа.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность А.А Волкову и И.В. Чусову за плодотворные дискуссии в ходе выполнения этой работы, В.Г.Гнеденко - за интерес и поддержку работы, и особенно безвременно ушедшему А.Г. Зимелеву, явившемуся инициатором этой работы и до последних своих дней проявлявшему живейший интерес и участие во вcех обсуждениях.

Литература:

1. Гришин С.Д. и др. "Ускоритель с замкнутым холловским слоем". В кн. "Плазменные ускорители", "Машиностроение", 1973.

2. Ерофеев B.C. и др. "Двухкаскадное ускорение ионов в слое с замкнутым холловским током". Там же.

3. Зимелев А.Г. и др. Авт. заявка на патент №94042655 с приоритетом от 22.11.1996.

4. Потапов И.Н. и др. "Оценки величины магнитного поля в установке СПРУТ". Совм. отчет РНЦ "Курчатовский институт" и ГП "Красная звезда" №КЗ-100-15/3-01, 1993.

5. Алямовский И.В. "Электронные пучки и электронные пушки", "Сов.Радио", 1966.

Работа опубликована в виде препринта РНЦ “Курчатовский институт” ИАЭ-6068/11 в 1997 году